Привет! Я Виктория Егоровна, учитель математики в школе. Я хочу рассказать и показать тебе как находить проценты и ты убедишься, что в этом нет ничего сложного. Различные онлайн калькуляторы процентов, конечно упрощают вычисления, но я считаю, что теоретическую часть должен знать каждый! В дальнейшем, ты можешь пользоваться калькулятором процентов для перепроверки своих вычислений с процентами. Давай научимся решать задачи на проценты вместе!
Содержание урока:
- Что такое процент? Как найти процент от числа.
- Как найти количество процентов от числа?
- Как узнать на сколько процентов одно число больше или меньше другого числа.
- Как увеличить или уменьшить число на определенный процент.
Что такое процент? Как найти процент от числа.
Что такое процент? По определению, процент — это сотая часть числа. А что же такое часть числа? Ну смотри: чтобы найти треть числа ⅓ мы число делим на 3.
Чтобы найти четверть числа ¼ мы число делим на 4.
Например, если ты и трое твоих друзей хотите съесть одно яблоко, то, чтобы всем досталось поровну, (а вас четыре человека: ты и три твоих друга), то яблоко вы разделите на 4 равных части. Тогда каждый из вас получит ¼ яблока.
Или, например, у тебя в сумке лежит 10 конфет. Ты съел ⅕ всех конфет.
Сколько же ты съел конфет? А я знаю! 10/5=2 ты съел 2 конфеты.
Итак, чтобы найти ⅓ от числа, надо число разделить на 3.
Чтобы найти ⅕ от числа, надо число разделить на 5.
А чтобы найти одну сотую от числа, надо число разделить на 100.
Но так как сотая часть числа — это есть 1%, то, когда ты число разделишь на 100, ты этим действием и найдёшь 1% от числа.
Надо найти 1% от числа 200. Делим число двести на сто, 200/100=2 — это 1% от числа 200.
Надо найти 1% от числа 60. Делим шестьдесят на сто, 60/100=0,6 — это 1% от числа 60.
А ещё хочу заметить, что те же ответы можно получить и другими действиями. Решим все приведённые выше примеры другими действиями.
Надеюсь, пока всё ясно. Мы повторили, что процент — это сотая часть числа. То есть, 1%=1/100 и чтобы найти 1% от числа, надо число разделить на 100 или умножить на 1/100.
Как найти количество процентов от числа?
А как найти другое количество процентов от числа? Давай разберём. Например, у тебя в сумке лежат всё те же 10 конфет. Учитель математики попросил у тебя 20% твоих конфет. Во-первых, ты ему вряд ли откажешь, а во-вторых, только учитель математики может попросить угощение в виде процентов. Остальные люди сказали бы просто: «Друг, дай, пожалуйста, 2 конфеты!». Убедимся, что 20% от 10 конфет — это 2 конфеты. Сначала найдём 1% от 10.
10/100=0,1 — это 1% от числа 10. А 20% в 20 раз больше, чем 1%! Значит, надо 0,1·20=2 конфеты.
Эти два действия можно объединить в одно выражение: 10/100·20=2. Значит, чтобы найти 20% от числа a надо a/100%·20.
Аналогично, чтобы найти, например, 45% от числа a, надо a/100%·45%.
Итак, чтобы найти n% от числа a надо a/100%·n%. А теперь поиграем с действиями. Помним, что действие деления можно заменить чертой дроби.
В этом длинном примере я лишь применяла законы умножения и деления, а получилось, что n% от числа a можно найти и так:
Куда пропали знаки процентов (возможно ты думаешь)? А считай, что они сократились в том длинном примере. Знак % был сверху и снизу. Что же тогда обозначает выражение n/100? Давай разберёмся!
Помнишь, я искала 20% от числа 10 вот такими действиями: 10/100·20? А теперь могу так:
Ответ, конечно, получился тот же самый. А давай посмотрим на дробь:
После сокращения она превратилась в:
То есть, 20% — это ⅕ часть числа, значит и проценты можно перевести в части. Самые используемы проценты в повседневной жизни, которые понимают все люди, независимо от того, как они учились в школе:
Это же половина. Конечно, половина! Ведь 50% это половина от 100%. Найти 50% — это значит, найти половину от числа. Дай ка мне 50% от твоих 10 конфет!
А это уже четверть. И да, 25% четыре раза вмещается в 100%. Найти 25% от числа — это найти ¼ часть. Только не надо говорить, что 10 не делится на 4! Если каждую конфету поделить пополам, то получится 20 половинок. А 20 уже делится на 4. И ты мне дашь 5 половинок. Ну или 2 с половиной конфеты.
А вообще, любые проценты можно перевести в части:
То есть, чтобы проценты перевести в части, надо число процентов разделить на 100. Логично предположить, что чтобы части перевести в проценты, надо часть умножить на 100%.
Например:
В последнем примере не получилось целое число. Но так бывает. Не всегда мы получаем целые числа при решении задач. Числа бывают разные, мир чисел огромен! Даже я, учитель математики, знаю не все числа, которые существуют в нашем мире. Но будь внимателен при решении задач. Ответ должен иметь смысл. Например, надо найти 30% от числа 15. Мы уже знаем, как это сделать:
А если такая задача: «На стоянке стоят 15 автомобилей. 30% из них белого цвета. Сколько машин белого цвета стоит на стоянке?» Для решения задачи надо найти 30% от числа 15.
4,5 машины? Но разве может быть 4,5 машины? В данном случае я намеренно предложила некорректную задачу. А ты смотри, если при решении задачи ты получаешь число, которое по смыслу не подходит, это может означать две вещи: ты неправильно решил задачу, или в задаче опечатка. Опечатки встречаются редко. Делаем выводы!
А теперь подумаем над следующими задачами.
Задача 1. На стоянке было 16 автомобилей. Из них 8 автомобилей белого цвета. Сколько процентов составляют белые автомобили от всех машин на стоянке?
Эта задача решается легко, так как 8 автомобилей — это половина от 16. А половина — это 50%, как мы выяснили раньше.
Задача 2. На стоянке было 16 автомобилей. Из них 4 автомобиля белого цвета. Сколько процентов составляют белые автомобили от всех машин на стоянке?
Раньше мы выяснили, что:
И это легко. 4 машины — это ¼ часть от всех машин, так как 4 раза по 4 машины это 16 машин.
Задача 3. На стоянке было 16 автомобилей. Из них 10 автомобилей белого цвета. Сколько процентов составляют белые автомобили от всех машин на стоянке? А вот тут дело сложнее. Порассуждаем.
Итак, чтобы найти, сколько процентов число a составляет от числа b,
надо a/b·100%.
Давай решим ещё пару задач с аналогичным вопросом.
Задача 4. Гарри Поттер взмахнул своей волшебной палочкой и превратил камни в 20 мармеладок. Из этих мармеладок 15 были с лимонным вкусом. Сколько процентов мармеладок были с лимонным вкусом? Решение:
Задача 5. В сладком подарке были конфеты трёх сортов. Конфет первого сорта было 600 граммов, а конфет второго и третьего сорта было по 200 грамм. Сколько процентов составляли конфеты первого сорта от всех конфет, которые были в этом подарке? Только теперь попробуй сам решить эту задачу.
Посмотреть ответ
Если получился ответ 60%, то знай, что ты — молодец!
Как узнать на сколько процентов одно число больше или меньше другого числа
Сейчас будут одни из самых коварных задач на проценты: когда надо узнать, на сколько процентов одно число меньше или больше другого. Пусть у нас есть числа a и b, где a < b. Требуется узнать, на сколько процентов число a меньше числа b. Запомни: во всех таких задачах за 100% обозначают то число, с которым идёт сравнение! В моём вопросе a
сравнивается с b. Значит, число b — это 100%. Тогда надо найти, сколько процентов составляет a от числа b. Ранее мы выяснили, что это находится по следующей формуле:
Итак, b — это 100%, a — это a/b·100%. Теперь узнаем разницу: от больших процентов отнимем меньшие. Так как a < b, то числу a соответствуют меньшие проценты. Тогда:
То есть, чтобы узнать, на сколько процентов a < b, надо:
А теперь, пусть снова есть некоторые числа a и b, где уже a > b. Требуется узнать, на сколько процентов число a больше числа b. Независимо от того, какое число больше, за 100% мы обозначаем то число, с которым сравниваем! Вопрос звучит, на сколько процентов число a больше, чем число b. То есть, сравнивают с числом b. Значит b — это 100%. Снова найдём, сколько процентов составляет a от числа b: a/b·100%. Снова получили, что b — это 100%, a — это a/b·100%. Только в этом случае, так как a > b, то числу a соответствуют большие проценты. Теперь найдём разницу:
Например, на сколько процентов число 30 больше числа 20? Решение:
Ответ: на 50% число 30 больше числа 20.
А давай теперь вот так: на сколько процентов число 20 меньше числа 30? Решение:
Ответ: на 33,33% (округление до сотых) число 20 меньше числа 30.
Вот такие вот дела! Казалось бы, две задачи с одинаковыми числами. В одной мы спрашиваем, на сколько процентов 30 больше, чем 20, а в другой — на сколько процентов 20 меньше, чем 30. Скорее всего у тебя были мысли, что если 30 больше 20 на 50%, то 20 меньше 30 тоже на 50%? Оказалось, что это так не работает! Когда 30 сравнивают с 20, то 20 — это 100%. А когда 20 сравнивают с 30, то 30 — это 100%.
Ты можешь выучить формулы, а можешь решать такие задачи по действиям.
Задача 1. Сегодня ты в любимой игре заработал 400 очков, а вчера только 250. На сколько процентов ты заработал очков больше сегодня, чем вчера?
Решение. Раз сравниваем со «вчера», то 250 очков — это 100%. Найдём, сколько процентов 400 составляет от 250.
Первое действие:
Второе действие:
Ответ: Сегодня ты заработал очков на 60% больше чем вчера.
Задача 2. Сегодня ты в любимой игре заработал 400 очков, а вчера только 250. На сколько процентов ты заработал очков меньше вчера, чем сегодня?
Решение. Раз сравниваем с «сегодня», то 400 очков — это 100%. Найдём, сколько процентов 250 составляет от 400.
Первое действие:
Второе действие:
Ответ: Вчера ты заработал очков на 37,5% меньше, чем сегодня.
Надеюсь, ты понимаешь, как надо рассуждать в задачах такого типа.
Как увеличить или уменьшить число на определенный процент
А мы идём дальше, научимся уменьшать число a на n процентов или увеличивать число a на n процентов. Пусть есть число a, которое надо уменьшить на n%. Тогда сначала надо узнать, сколько составляют n% от a. А это мы уже делали раньше! Вот на столько мы будем уменьшать число a.
Получили формулу уменьшения числа a на n процентов:
Чтобы уменьшить число a на n процентов, надо найти значение выражения
Формулы — это хорошо, они ускоряют процесс решения задач. Но ты можешь решать задачи как с формулами, так и без.
Например, надо решить задачу: «Боксёр весит 70 кг. Тренер дал задание боксёру похудеть на 10%, чтобы перейти в другую весовую категорию. Сколько в итоге стал весить боксёр?»
Первый способ решения:
Ответ: после похудения на 10 процентов боксер стал весить 63 кг.
Второй способ решения:
Это мы нашли 10% от числа 70, то есть узнали, на сколько килограммов должен похудеть боксёр.
Ответ: итоговый вес боксёра после похудения составляет 63 кг.
Как видишь, для решения задачи можно пользоваться формулами, а можно решать их по действиям.
Нетрудно догадаться, что если требуется число a увеличить на n процентов, то результат можно получить по формуле:
Например, такая ситуация: «Бабушка решила положить деньги в банк под 15% годовых. Сколько будет денег у бабушки через год, если она положит 1200 денежных единиц?» Денежные единицы — это или рубли, или доллары, или франки или ещё какие-то деньги. В каждой стране свои, а из какой страны бабушка — уточнять не будем!
Первый способ решения:
Ответ: 1380 денежных единиц.
Второй способ решения:
Это мы узнали сумму процентов по вкладу за весь год 180. Теперь прибавляем сумму процентов к основной сумме вклада:
Ответ: через год бабушка в сумме получит 1380 денежных единиц.
И снова мы решили задачу и с помощью формул, и по действиям. У тебя есть выбор способов решения.
Помечтаем дальше на денежную тему. Вдруг бабушке понравится, и она захочет положить деньги в банк на 2 года или 3, или ещё на сколько лет? Как узнать, сколько денег будет у бабушки через 2 года или 3 или m лет?
Мы уже знаем, что если положить a денежных единиц под n% в банк, то через год вклад составит:
Итак, в банке уже лежат те самые
Теперь уже на этот вклад действуют n% годовых. Узнаем, какой станет новая сумма через год!
Этим действием мы нашли n% от новой суммы. А теперь узнаем, какой станет вклад за второй год нахождения в банке:
При преобразовании выражения я вынесла как общий множитель за скобки:
А что мы получили? Мы получили, что через два года у бабушки на счету будет
А через три года? Думаю, ты уже догадываешься:
Через 4 года?
А через m лет?
Итак, если положить в банк a денежных единиц под n% в банк, то через m лет вклад станет:
Формула выводилась непросто. Она, кстати, называется формулой сложных процентов. Зато с помощью этой формулы мы можем узнать, сколько будет на счету через, например, 4 года, если положить 1000 денежных единиц в банк под 18% годовых. Ты ведь уже догадываешься, что это новая задача!?
Почему приблизительно — потому что пришлось округлить ответ, так как не бывает такой суммы 1938,77776 денежных единиц. В 1 рубле — 100 копеек, в 1 долларе — 100 центов и так далее. Вот мы и оставили только два знака после запятой, округлили ответ до сотых. Как я уже говорила ранее, решая любую задачу еще нужно мыслить и логически.
Ну вот и подошёл к концу наш урок. Мы разобрали основные задачи на действия с процентами. Надеюсь, тебе было понятно и интересно, и ты захочешь учиться дальше познавать этот увлекательный математический мир!
Виктория Егоровна, учитель математики, обучающий материал специально для percent-calc.ru